푸아송 분포의 확률질량함수

$\ $ 기초적인 확률분포 중 하나인 푸아송 분포의 확률질량함수를 유도해보자. 푸아송분포의 정의만 잘 숙지하면 생각보다 간단하게 이항분포 확률질량함수로부터 식을 유도할 수 있다.
푸아송분포는, 특정 시간 $t$ 내에 사건이 몇 번 일어날 지에 대한 확률분포이다. 이항분포에서 시행 수 $n$이 무한하게 크고, 각 시행에서 사건이 일어날 확률 $p$가 충분히 작다면, 기댓값 $\lambda$는 단순히 $n$ 과 $p$의 곱일 것이다.

$$\lambda = np$$ $$n = total\ trials, $$ $$p = times\ the\ chance\ of\ success\ for\ each\ of\ those\ trials$$

ex) \(n = 50, p = 2/5, \lambda = 20\)

• Binomial Distribution

$$B(n,p) = p(X = k) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}$$

여기에서, \(\lambda = np\) 였으므로, \(p = \lambda/n\)을 대입 후, \(n \rightarrow \infty\) 취해주면 다음과 같다.

$$\lim_{n \to \infty}P(X = k) = \lim_{n \to \infty}\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{(n-k)}$$ $$= \frac{\lambda^k}{k!}\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^n(1-\frac{\lambda}{n})^{(-k)}$$

위의 마지막 줄의 식을 세 부분으로 나누어서 극한 계산을 진행해보자.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n-k)!} \cdots (1)$$ $$\lim_{n \to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n \cdots (2)$$ $$\lim_{n \to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \cdots (3)$$

여기에서, (1)번 식은 다음과 같이 정리된다.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k} = 1$$

해당 식은 분모와 분자의 $n$의 차수가 같으므로, 간단히 1로 수렴한다.
(2)번에 해당하는 식은 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$\lim_{n \to \infty}\left\{(1-\frac{\lambda}{n})^{(-\frac{n}{\lambda})}\right\}^{(-n)}$$ $$ = e^{-\lambda}$$

마지막으로, (3)번에 해당하는 식은 \(-\frac{\lambda}{n}\) 값이 0으로 수렴하므로 결과적으로 1로 수렴한다.
결과적으로, \(P(\lambda, k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)이 성립한다.